Question

6．設x、y∈R⁺，且滿足xy+x+y=3．則x+y的最小值為2，x+2y的最小值為$4\sqrt{2}-3$．

Answer 1

分析 首先由等式x+y+xy=3，可得到x+y=3-xy，又根據(jù)基本不等式有3-xy≥2$\sqrt{xy}$，可設t=$\sqrt{xy}$，得到到關于t的不等式t²+2t-3≥0，求出t的范圍即可得到x+y的最小值；
由x表示y，代入x+2y，整理后利用基本不等式求最值．

解答 解：∵x，y∈R⁺，x+y+xy=3，則x+y=3-xy．
又根據(jù)基本不等式有x+y$≥2\sqrt{xy}$．
即有3-xy$≥2\sqrt{xy}$，
設$t=\sqrt{xy}$＞0，
則有不等式t²+2t-3≤0，解得0＜t≤1．
則x+y≥2；
由xy+x+y=3，得$y=\frac{3-x}{x+1}$，
∴s=x+2y=x+$\frac{6-2x}{x+1}$=$\frac{{x}^{2}-x+6}{x+1}=\frac{（x+1）^{2}-3（x+1）+8}{x+1}$
=$（x+1）+\frac{8}{x+1}-3≥2\sqrt{（x+1）•\frac{8}{x+1}}-3$=$4\sqrt{2}-3$．
當且僅當x+1=$\frac{8}{x+1}$，即x=$2\sqrt{2}-1$時上式取“=”．
故答案為2，$4\sqrt{2}-3$．

點評 此題主要考查基本不等式的應用，其中涉及到變量代換思想，屬于中檔題目．