【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi),求實(shí)數(shù)的取值范圍。
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞減等價(jià)于其導(dǎo)數(shù)在區(qū)間[2,4]上恒成立,只需求在[2,4]上的最小值即可;
(2)題意可化為當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),不等式f(x)≤x恒成立,即a(x﹣1)2+lnx﹣x+1≤0恒成立,設(shè)g(x)=a(x﹣1)2+lnx﹣x+1(x≥1),只需g(x)max≤0即可,下面用導(dǎo)數(shù)求解g(x)的最大值.
解:(1)
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
在區(qū)間上恒成立,
即在上恒成立
只需不大于在上的最小值即可
當(dāng)時(shí),
即,故實(shí)數(shù)的取值范圍是
(2)因?yàn)?/span>圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)
即當(dāng)時(shí),不等式恒成立
即恒成立
設(shè)只需
既可
由
⑴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),
函數(shù)在上單調(diào)遞減,故成立
⑵當(dāng)時(shí),由
令得
①若,即時(shí),在區(qū)間上
在上單調(diào)遞增,函數(shù)在上無(wú)最大值,不滿足條件
②若,時(shí)
函數(shù)在上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
同樣在上無(wú)最大值,不滿足條件
⑶當(dāng)時(shí),
因?yàn)?/span>,故則函數(shù)在上單調(diào)遞減,
故成立
綜上所述,實(shí)數(shù)的范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地,要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修),其它三面圍墻要新建,在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口,已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為x(單位:m),(1)將y表示為x的函數(shù)(2)試確定x , 使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小,并求出最小總費(fèi)用
(1)將y表示為x的函數(shù):
(2)試確定x , 使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小,并求出最小總費(fèi)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x,aR.
(Ⅰ)令g(x)=f'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)已知f(x)在x=1處取得極大值.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線,與該橢圓交于P、Q兩點(diǎn),直線OP、OQ的斜率依次為,滿足,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解人們對(duì)城市治安狀況的滿意度,某部門對(duì)城市部分居民的“安全感”進(jìn)行調(diào)查,在調(diào)查過(guò)程中讓每個(gè)居民客觀地對(duì)自己目前生活城市的安全感進(jìn)行評(píng)分,并把所得分作為“安全感指數(shù)”,即用區(qū)間[0,100]內(nèi)的一個(gè)數(shù)來(lái)表示,該數(shù)越接近100表示安全感越高.現(xiàn)隨機(jī)對(duì)該地區(qū)的男、女居民各500人進(jìn)行了調(diào)查,調(diào)查數(shù)據(jù)如表所示:
安全感指數(shù) | [0,20) | [20,40) | [40,60) | [60,80) | [80,100] |
男居民人數(shù) | 8 | 16 | 226 | 131 | 119 |
女居民人數(shù) | 12 | 14 | 174 | 122 | 178 |
根據(jù)表格,解答下面的問(wèn)題:
(Ⅰ)估算該地區(qū)居民安全感指數(shù)的平均值;
(Ⅱ)如果居民安全感指數(shù)不小于60,則認(rèn)為其安全感好.為了進(jìn)一步了解居民的安全感,調(diào)查組又在該地區(qū)隨機(jī)抽取3對(duì)夫妻進(jìn)行調(diào)查,用X表示他們之中安全感好的夫妻(夫妻二人都感到安全)的對(duì)數(shù),求X的分布列及期望(以樣本的頻率作為總體的概率).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】正三角形的邊長(zhǎng)為,將它沿高翻折,使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為,此時(shí)四面體外接球表面積為
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+x﹣lnx,(a>0). (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)f(x)極值點(diǎn)為x0 , 若存在x1 , x2∈(0,+∞),且x1≠x2 , 使f(x1)=f(x2),求證:x1+x2>2x0 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖,在陽(yáng)馬P﹣ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,過(guò)棱PC的中點(diǎn)E,作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F,連接DE,DF,BD,BE.
(1)證明:PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑,若是,寫(xiě)出其每個(gè)面的直角(只需寫(xiě)出結(jié)論);若不是,說(shuō)明理由;
(2)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 ,求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】公元前3世紀(jì),古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出:“球的體積(V)與它的直徑(d)的立方成正比”,此即V=kd3 , 與此類似,我們可以得到: ⑴正四面體(所有棱長(zhǎng)都相等的四面體)的體積(V)與它的棱長(zhǎng)(a)的立方成正比,即V=ma3;
⑵正方體的體積(V)與它的棱長(zhǎng)(a)的立方成正比,即V=na3;
⑶正八面體(所有棱長(zhǎng)都相等的八面體)的體積(V)與它的棱長(zhǎng)(a)的立方成正比,即V=ta3;
那么m:n:t=( )
A.1:6 :4
B. :12:16
C. :1:
D. :6:4
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