Question

10．研究函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$的定義域，奇偶性，單調(diào)性，最大值．畫出它的圖象．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性與最大值，并畫出該函數(shù)的圖象．

解答 解：∵1+x²≠0恒成立，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1{+x}^{2}}$的定義域?yàn)镽；
又對(duì)?x∈R，有f（-x）=$\frac{1}{1{+（-x）}^{2}}$=$\frac{1}{1{+x}^{2}}$=f（x），
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1{+x}^{2}}$是定義域R上的偶函數(shù)；
又f（x）=$\frac{1}{1{+x}^{2}}$在（-∞，0]上單調(diào)增函數(shù)，在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)；
∵1+x²≥1，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1{+x}^{2}}$的最大值為1；
畫出該函數(shù)的圖象如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義域，奇偶性、單調(diào)性、最值的求法與判斷問題，是基礎(chǔ)題目．