Question

【題目】在雙曲線的右支上存在點，使得點與雙曲線的左、右焦點，形成的三角形的內切圓的半徑為，若的重心滿足，則雙曲線的離心率為__________.

Answer 1

【答案】2

【解析】

設，，，運用三角形的重心坐標，求得內心的坐標，可得，再結合雙曲線的定義和等積法，求得，再由雙曲線的離心率公式和第二定義，可得，將的坐標代入雙曲線的方程，運用，，的關系和離心率公式，即可得到所求離心率．

設，，，

可得重心，即，

設△的內切圓與邊的切點，與邊的切點為，與邊上的切點為，

則△的內切圓的圓心的橫坐標與的橫坐標相同．

由雙曲線的定義，．①

由圓的切線性質，

，，，即有。

由，

則△的重心為，，即，

由△的面積為，

可得.②

由①②可得，

由右準線方程，雙曲線的第二定義可得：

，解得，

即有，代入雙曲線的方程可得，可得，

可得雙曲線的離心率為．

故答案為：．