Question

【題目】對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱為“類函數(shù)”.

（1）已知函數(shù)，試判斷是否為“類函數(shù)”？并說明理由；

（2）設(shè)是定義域上的“類函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若為其定義域上的“類函數(shù)”，求實數(shù)取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意，得到，根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換化簡，得，得到存在滿足，即可作出判定；

（2）根據(jù)可化為，令，得到方程在有解可保證是“M類函數(shù)”，分離參數(shù)，即可求解.

（3）由為其定義域上的“類函數(shù)”，得到存在實數(shù)使得，根據(jù)分段函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，

可得，即，

整理得，

所以存在滿足

所以函數(shù)是“M類函數(shù)”.

（2）當(dāng)時，可化為，

令，則，

從而在有解可保證是“M類函數(shù)”，

即在有解可保證是“M類函數(shù)”，

設(shè)在為單調(diào)遞增函數(shù)，可得函數(shù)的最小值為，

所以，即.

（3）由在上恒成立，可得，

因為為其定義域上的“類函數(shù)”，

所以存在實數(shù)使得，

①當(dāng)時，則，

所以，所以，即，

因為函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，所以；

②當(dāng)時，，此時，不成立；

③當(dāng)，則，所以，所以

因為函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，所以；

綜上所述，求實數(shù)取值范圍.