Question

4．設函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{3^x}，x≤0\\{log_4}x，x＞0\end{array}\right.$，若關于x的方程af²（x）-f（x）=0恰有三個不同的實數解，則實數a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，1]
• B． [1，+∞）
• C． [0，1]
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 結合方程af²（x）-f（x）=0恰有三個不同的實數解，將問題轉化為函數圖象交點的個數判斷問題，進而結合函數f（x）的圖象即可獲得解答．

解答 解：由題意可知：函數f（x）的圖象如下：
由關于x的方程af²（x）-f（x）=0恰有三個不同的實數解，
其中f（x）=0，即x=1是其中一個解，
則方程$\frac{1}{a}$=f（x）恰有2個不同的實數解，
即函數y=$\frac{1}{a}$與函數y=f（x）的圖象恰有2個不同的交點．
由圖象易知：$\frac{1}{a}$∈（0，1]，
實數a的取值范圍為[1，+∞），
故選B．

點評 此題考查的是方程的根的存在性以及根的個數問題．在解答的過程當中充分體現了問題轉化的思想、數形結合的思想．值得同學們體會反思．