Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）的圖象由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？（寫出變換過程）
（3）在△ABC中，若，求tanA的值．

Answer 1

解：（1）∵==1-=1+sin2x，
∴=sin2x+=
所以f（x）的最小正周期T==π，
由，解得
∴函數(shù)f（x）的單增區(qū)間為[]，k∈Z
（2）函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)y=sinx的圖象先向左平移個(gè)單位，
然后將圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的，最后將圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍而得．
（3）由（1）得，所以
∵0＜C＜π，，
∴，可得，
∵在△ABC中，π-B=A+C，得sinB=sin（A+C）
∴2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）可化為：2sin（A+C）=cos（A-C）-cos（A+C）
展開化簡(jiǎn)得：2sinAcosC+2cosAsinC=2sinAsinC，
將代入，得2sinAcos+2cosAsin=2sinAsin，
∴sinA+cosA=sinA，即（）sinA=-cosA，
所以．
分析：（1）用三角函數(shù)的降冪公式結(jié)合的誘導(dǎo)公式，可得=1+sin2x．代入函數(shù)f（x），再用輔助角公式：，進(jìn)行合并化簡(jiǎn)得f（x）=，最后可用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期與單調(diào)性的結(jié)論與公式，得到函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的規(guī)律，先進(jìn)行相位變換將圖象左移，然后再分別進(jìn)行橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的伸縮，可得到函數(shù)f（x）=的變換過程．
（3根據(jù)（1）的表達(dá)式，解方程，結(jié)合C為三角形內(nèi)角，得到，將其代入已知等式化簡(jiǎn)可得（）sinA=-cosA，最后利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，可得 tanA的值．
點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)特殊的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的降次公式、誘導(dǎo)公式和輔助角公式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與周期，以及求三角函數(shù)的值，著重考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．