Question

20．若x∈[0，1]，則函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}（1-x）^{2}}{{x}^{2}-x+1}$的最大值為$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用換元，令t=$\frac{1}{{x}^{2}-x}$∈（-∞，-4]，y=t²+t，f（x）=$\frac{1}{y}$，運(yùn)用二次函數(shù)的值域求法，即可得到所求最大值．

解答 解：由x∈[0，1]，可得-$\frac{1}{4}$≤x（x-1）≤0，
當(dāng)x=0時，y=0；
當(dāng)0＜x≤1時，f（x）=$\frac{1}{\frac{1}{（{x}^{2}-x）^{2}}+\frac{1}{{x}^{2}-x}}$，
令t=$\frac{1}{{x}^{2}-x}$∈（-∞，-4]，
由y=t²+t=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$≥（-4）²-4=12，
即有f（x）≤$\frac{1}{12}$，
則當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，取得最大值$\frac{1}{12}$．
故答案為：$\frac{1}{12}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元和二次函數(shù)的最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．