精英家教網(wǎng)如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點,F(xiàn)為AD的中點.
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點,PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.
分析:(I)線段PB的中點為G,連接EG,AG,由三角形的中位線定理,平行四邊形的判定與性質(zhì),我們易得到EF∥AG,結(jié)合線面平行的判定定理,我們易得到EF∥平面PAB;
(II)根據(jù)已知中PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,及PA=PB,G為AB的中點,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)及等腰三角形三線合一,我們易證明AG⊥平面PBC,結(jié)合(I)中結(jié)論EF∥AG,即可得到結(jié)論;
(III)根據(jù)點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點,PM與平面ABCD所成的角始終為45°,我們根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義判斷出動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的形狀及底面半徑、高等幾何量,代入圓錐體積公式,即可得到答案.
解答:證明:(I)設(shè)線段PB的中點為G,連接EG,AG,
∵E為PC的中點,
∴EG∥BC且EG=
1
2
BC
又∵F為AD的中點,四邊形ABCD為正方形
∴AF∥BC且AF=
1
2
BC
∴EG∥AF且EG=AF
∴四邊形EGAF為平行四邊形
∴EF∥AG
又∵EF?平面PAB,AG?平面PAB
∴EF∥平面PAB;
(II)∵PA⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,
∴BC⊥PA,
又∵BC⊥AB,AB?平面PAB,AP?平面PAB,AP∩AB=A
∴BC⊥平面PAB
又∵AG?平面PAB
∴AG⊥BC
又∵PA=PB,G為AB的中點
∴AG⊥PB
又∵PB?平面PBC,BC?平面PBC,PB∩BC=B
∴AG⊥平面PBC,
由(I)知EF∥AG
∴EF⊥平面PBC;
解:(III)∵PM與平面ABCD所成的角始終為45°,PA⊥平面ABCD,
∴AM=PA=2,
又∵∠BAD=90°
∴點M的是以A為圓心,2為半徑的四分之一圓,
∴動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAD圍志的幾何是底面半徑為2,高為2的四分之一圓錐
∴V=
1
4
×(
1
3
×π×22)×2
=
3
點評:本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定,圓錐的體積及直線與平面平行的判定,其中熟練掌握空間中線與面垂直及平行的判定和性質(zhì),建立良好的空間能力是解答此類問題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖:已知四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中點,
求證:
(1)PC∥平面EBD.
(2)平面PBC⊥平面PCD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分別是BC、PC的中點.
(1)證明:AE⊥PD;
(2)設(shè)AB=2,若H為線段PD上的動點,EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
,求AP的長度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形,∠BCD=60°,PD⊥AD.點E是BC邊上的中點.
(1)求證:AD⊥面PDE;
(2)若二面角P-AD-C的大小等于60°,且AB=4,PD=
8
3
3
;①求VP-ABED; ②求二面角P-AB-C大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•崇明縣二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,E、F分別是BC,PC的中點,AB=2,AP=2.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角E-AF-C的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•吉林二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PA⊥面ABCD,且PA=AD=2,點M,N分別在PD,PC上,
PN
=
1
2
NC
,PM=MD.
(Ⅰ) 求證:PC⊥面AMN;
(Ⅱ)求二面角B-AN-M的余弦值.

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