Question

某房地產(chǎn)項目打造水景工程，擬在小區(qū)綠地中建設(shè)人工湖．該綠地形狀為Rt△OPQ（如圖），∠POQ=90°，OP=40m，OQ=40

3

m．人工湖也呈三角形形狀，三個頂點分別為O、M、N，其中點M，N在線段PQ上．若∠MON=30°，當(dāng)∠POM取何值時，人工湖的面積最��？并求面積的最小值．

Answer 1

考點：解三角形的實際應(yīng)用

專題：解三角形

分析：由已知得∠OPQ=60°，從而∠PQO=30°，設(shè)∠POM=α，0°≤α≤60°，由正弦定理可得OM=

OPsin60°

sin(60°+α)

，ON=

OPsin60°

sin(90°+α)

，故S_△OMN=

1

2

OM•ONsin∠MON=

1200

2sin(2α+60°)+ 3

，由此能求出∠POM=15°時，△OMN的面積最小，面積的最小值1200（2-

3

）．

解答： 解：∵Rt△OPQ中，∠POQ=90°，OP=40m，OQ=40

3

m，
∴tan∠OPQ=

OQ

PO

=

40 3

40

=

3

，
∴∠OPQ=60°，∴∠PQO=30°，
設(shè)∠POM=α，0°≤α≤60°，
在△OMP中，由正弦定理可得：

OM

sin∠OPM

=

OP

sin∠OMP

，
OM=

OPsin60°

sin(60°+α)

，
同理，ON=

OPsin60°

sin(90°+α)

，
故S_△OMN=

1

2

OM•ONsin∠MON
=

1

4

×

OP2•sin260°

sin(60°+α)sin(90°+α)

=

600

3 cos2α+sinαcosα

=

600

1 2 sin2α+ 3 2 cos2α+ 3 2

=

1200

2sin(2α+60°)+ 3

因為0°≤α≤60°，所以60°≤2α+60°≤180°，
所以當(dāng)α=15°，即∠POM=15°時，sin（2α+60°）的最大值為1，
此時，△OMN的面積最小，面積的最小值1200（2-

3

）．

點評：本題考查當(dāng)∠POM取何值時，人工湖的面積最小，并求面積的最小值，解題時要認(rèn)真審題，注意正弦定理的合理運用．