Question

已知等差數(shù)列{a_n}首項(xiàng)a₁=1，公差為d，且數(shù)列{2  a n}是公比為4的等比數(shù)列，
（1）求d；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及前n項(xiàng)和S_n；
（3）求數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{2an}是公比為4的等比數(shù)列，即可求d；
（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及前n項(xiàng)和S_n；
（3）利用裂項(xiàng)法求數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{2an}是公比為4的等比數(shù)列，
∴

2an+1

2an

=2an+1-an=2d=4，求得d=2…（4分）
（2）由此知a_n=1+2（n-1）=2n-1，Sn=n2…（8分）
（3）令bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)•(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（10分）
則Tn=b 1+b2+b3+…+bn=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

 )]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，突出考查解方程組與裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．