【題目】已知圓C1:(x+1)2+y2=25,圓C2:(x﹣1)2+y2=1,動圓C與圓C1和圓C2均內(nèi)切.

(1)求動圓圓心C的軌跡E的方程;
(2)點P(1,t)為軌跡E上點,且點P為第一象限點,過點P作兩條直線與軌跡E交于A,B兩點,直線PA,PB斜率互為相反數(shù),則直線AB斜率是否為定值,若是,求出定值;若不是,請說明理由.

【答案】
(1)解:圓C1:(x+1)2+y2=25的圓心C1(﹣1,0),半徑r1=5;圓C2:(x﹣1)2+y2=1的圓心C2(1,0),半徑r2=1.

設(shè)動圓C的圓心C(x,y),半徑r.

∵動圓C與圓C1,圓C2均內(nèi)切,

∴|C1C|=5﹣r,|C2C|=r﹣1.

∴|C1C|+|C2C|=5﹣1=4>|C1C2|=2,

因此動點C的軌跡是橢圓,且2a=4,2c=2,得a=2,c=1,

∴b2=a2﹣c2=3.

因此動圓圓心C的軌跡E方程是 ;


(2)解:如圖,

∵點P(1,t)為軌跡E上點,且點P為第一象限點,

,解得t=

∴P(1, ),

設(shè)PA所在直線方程為y﹣ ,則PB所在直線方程為

聯(lián)立 ,得(3+4k2)x2﹣(8k2﹣12k)x+4k2﹣12k﹣3=0,

,

,

取k為﹣k,可得 ,

∴直線AB斜率為定值


【解析】(1)圓(x+1)2+y2=1的圓心C1(﹣1,0),半徑r1=1;圓(x﹣1)2+y2=25的圓心C2(1,0),半徑r2=5.設(shè)動圓C的圓心C(x,y),半徑r.由于動圓C與圓(x+1)2+y2=1及圓(x﹣1)2+y2=25都內(nèi)切,可得|C1C|=r﹣1,|C2C|=5﹣r.于是|C1C|+|C2C|=5﹣1=4>|C1C2|=2,利用橢圓的定義可知:動點C的軌跡是橢圓;(2)把P的坐標代入橢圓方程,求得t值,然后設(shè)出過PA的直線方程,PB的直線方程,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,求得A,B的坐標,代入斜率公式可得直線AB斜率為定值

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