Question

18．設命題p：實數x滿足x²-2x+1-m²≤0，其中m＞0，命題q：$\frac{12}{x+2}$≥1．
（Ⅰ）若m=2且p∨q為真命題，求實數x的取值范圍；
（Ⅱ）若￢q是￢p的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）m=2且p∨q為真命題，由命題P：x²-2x-3≤0為真命題，利用一元二次不等式解法可得解集；由命題q：$\frac{12}{x+2}$≥1為真命題，化為$\frac{x-10}{x+2}$≤0，轉化為（x+2）（x-10）≤0，且x+2≠0，解出取并集即可．
（II）對于命題p：實數x滿足x²-2x+1-m²≤0，其中m＞0，化為[x-（1-m）][x-（1+m）]≤0，可得解集A=[1-m，1+m]（m＞0）．得到￢p：∁_RA=（-∞，1-m）∪（1+m，+∞）．同理可得￢q：∁_RB=（-∞，-2]∪（10，+∞）．根據￢q是￢p的充分不必要條件，可得$\left\{\begin{array}{l}{1-m≤-2}\\{1+m≥10}\end{array}\right.$，但是等號不同時成立，解出即可．

解答 解：（I）m=2且p∨q為真命題，由命題P：x²-2x-3≤0為真命題，解得-1≤x≤3；
由命題q：$\frac{12}{x+2}$≥1為真命題，化為$\frac{x-10}{x+2}$≤0，解得-2＜x≤10．
∴實數x的取值范圍是[-1，3]∪（-2，10]=（-2，10]．
（II）對于命題p：實數x滿足x²-2x+1-m²≤0，其中m＞0，化為[x-（1-m）][x-（1+m）]≤0，解得1-m≤x≤1+m，記為A=[1-m，1+m]（m＞0）．
對于命題q：$\frac{12}{x+2}$≥1，解得-2＜x≤10，記為B=（-2，10]．
∵￢q是￢p的充分不必要條件，∴p是q的充分不必要條件，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-m≥-2}\\{1+m≤10}\end{array}\right.$，解得m≤3．
又0＜m，
∴實數m的取值范圍是（0，3]．

點評 本題考查了一元二次不等式解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．