若在x∈[0，
π
2
]內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)值滿(mǎn)足等式cos2x+
3
sin2x=k+1，則k的取值范圍是（　�。�
分析：把已知等式左邊提取2后，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由x的范圍求出這個(gè)角的范圍，畫(huà)出此時(shí)正弦函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)值y對(duì)應(yīng)的x有兩個(gè)不同的值，由圖象得出滿(mǎn)足題意的正弦函數(shù)的值域，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范圍．
解答：解：cos2x+
3
sin2x=k+1，
得2（
1
2
cos2x+
3
2
sin2x）=k+1，即2sin（2x+
π
6
）=k+1，
可得：sin（2x+
π
6
）=
k+1
2
，
由0≤x≤
π
2
，得
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，
∵y=sin（2x+
π
6
）在x∈[0，
π
2
]上的圖象形狀如圖，

∴當(dāng)
1
2
≤
k+1
2
＜1時(shí)，方程有兩個(gè)不同的根，
解得：0≤k＜1．
答案：D
點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，解題的思路為：利用三角函數(shù)的恒等變形把已知等式的左邊化為一個(gè)正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

二次函數(shù)f（x）的圖象頂點(diǎn)為A（1，16），且圖象在x軸上截得線(xiàn)段長(zhǎng)為8．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=（2-2a）x-f（x）；
①若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
②求函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•德州二模）已知向量
a
=（2cosωx，-1），
b
=（
3
sinωx+cosωx，1）（ω＞0），函數(shù)f（x）=
a
•
b
的最小正周期為π．
（I）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式及最大值；
（Ⅱ）若在x∈[0，
π
2
]上f（x）≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f(x)=sin(x+)，若在x∈[0，2π]上關(guān)于x的方程f(x)=m有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1、x2，則x1+x2為_(kāi)_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：德州二模 題型：解答題

已知向量
a
=（2cosωx，-1），
b
=（
3
sinωx+cosωx，1）（ω＞0），函數(shù)f（x）=
a
•
b
的最小正周期為π．
（I）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式及最大值；
（Ⅱ）若在x∈[0，
π
2
]上f（x）≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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