Question

設P：f(x)=ln(2x)+

1

3

mx3-

3

2

x2+4x+1在[

1

6

，6]內(nèi)單調(diào)遞增，q：m≥

5

9

，則q是p的（　　）

• A、充分必要條件
• B、充分不必要條件
• C、必要不充分條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：首先由f（x）在[

1

6

，6]內(nèi)單調(diào)遞增，得f′（x）≥0恒成立；然后利用分離參數(shù)的方法，得到m≥-

1

x3

-

4

x2

+

3

x

恒成立；再利用換元法，令t=

1

x

，得g（t）=-

1

x3

-

4

x2

+

3

x

=-t³-4t²+3t；隨后結合導數(shù)法求出g（t）的最大值，即得m的取值范圍；最后判斷出q是p的充分不必要條件．

解答：解：∵f(x)=ln(2x)+

1

3

mx3-

3

2

x2+4x+1在[

1

6

，6]內(nèi)單調(diào)遞增，
∴在[

1

6

，6]內(nèi)，f′（x）=

1

x

+mx²-3x+4=

mx3-3x2+4x+1

x

≥0恒成立．
即mx³-3x²+4x+1≥0，亦即m≥-

1

x3

-

4

x2

+

3

x

恒成立．
令t=

1

x

，則-

1

x3

-

4

x2

+

3

x

=-t³-4t²+3t，
設g（t）=-t³-4t²+3t，則g′（t）=-3t²-8t+3．
由g′（t）=-3t²-8t+3=0得t=-3或

1

3

．
∵x∈[

1

6

，6]∴t∈[

1

6

，6]
∴在[

1

6

，

1

3

）內(nèi)，g′（t）＞0；在（

1

3

，6]內(nèi)，g′（t）＜0．
∴[g（t）]_max=g（

1

3

）=-

1

27

-

4

9

+1=

14

27

．
∴m≥

14

27

即可．
又∵

14

27

≤

5

9

，∴q是p的充分不必要條件．
故選B．

點評：本題主要考查了導數(shù)法解決函數(shù)的單調(diào)性及最值，同時考查了換元法、分離參數(shù)法及充分必要條件的知識，是一道非常綜合的題目．