Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-1-x-ax²．
（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．
（2）根據(jù)e^x≥1+x可得不等式f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，從而可知當(dāng)1-2a≥0，即a≤

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時(shí)，f′（x）≥0判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得到答案．

解答：解：（1）a=0時(shí)，f（x）=e^x-1-x，f′（x）=e^x-1．
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
故f（x）在（-∞，0）單調(diào)減少，在（0，+∞）單調(diào)增加
（II）f′（x）=e^x-1-2ax
由（I）知e^x≥1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立．故f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，
從而當(dāng)1-2a≥0，即a≤

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時(shí)，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，
于是當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0．
由e^x＞1+x（x≠0）可得e^-x＞1-x（x≠0）．
從而當(dāng)a＞

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時(shí)，f′（x）＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），
故當(dāng)x∈（0，ln2a）時(shí)，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是當(dāng)x∈（0，ln2a）時(shí)，f（x）＜0．
綜合得a的取值范圍為(-∞，

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]．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、不等式恒成立問題以及參數(shù)取值范圍問題，考查分類討論、轉(zhuǎn)化與劃歸解題思想及其相應(yīng)的運(yùn)算能力．