Question

若數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂

1

an

，則數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：求出數(shù)列{a_n}、數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式代入a_nb_n，利用錯(cuò)位相減法求得其前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴a_n=

1

2n

，
∴b_n=log₂

1

an

=n，
∴a_nb_n=n•

1

2n

，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ．①
2S_n=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹．②
①-②得-S_n=1•2+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1．
∴S_n=2-2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺¹．
故答案為：2-2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和S_n，屬中檔題．