Question

在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中，分別為BC，CD的中點(diǎn)，、分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合，構(gòu)成一個(gè)三棱錐，如圖所示.
（1）在三棱錐中，求證：；
（2）求四棱錐的體積.

Answer 1

（1）在三棱錐中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211504133512.png" style="vertical-align:middle;" />，，，
所以.  又，所以．………………6分
（2）因?yàn)樵?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211504226517.png" style="vertical-align:middle;" />中，、分別為、的中點(diǎn)，
所以四邊形的面積是面積的. ………………8分
又三棱錐與四棱錐的高相等，
所以，四棱錐的體積是三棱錐的體積的，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823211504476719.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．………………10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232115044921832.png" style="vertical-align:middle;" />
所以，故四棱錐的體積為．

(1)圖形的翻折問(wèn)題，要注意折前折后哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒(méi)有變化。
本小題可以證明：即可.
（2）求體積可以直接求，也可以通過(guò)求其占整個(gè)錐體的體積比也可。整個(gè)錐體的體積易求。本小題易采用后者。