Question

實數(shù)x，y滿足x²+y²-4x-14y+45=0，求
（1）x²+y²+4x-6y的取值范圍；
（2）

y-3

x+2

的取值范圍．
（3）x-2y取值范圍．

Answer 1

分析：（1）圓方程化為標準方程，利用三角換元，結合輔助角公式，可得結論；
（2）利用三角換元，結合輔助角公式，及三角函數(shù)的值域，可得結論；
（3）利用三角換元，結合輔助角公式，可得結論．

解答：解：（1）將x²+y²-4x-14y+45=0，轉(zhuǎn)化為標準形式（x-2）²+（y-7）²=8，令x=2+2

2

cosα，y=7+2

2

sinα
∴x²+y²+4x-6y=8（x+y）-45=27+32sin（α+

π

4

）
∴-5≤x²+y²+4x-6y≤59；
（2）由（1）知，

y-3

x+2

=

4+2 2 sinα

4+2 2 cosα

=

2 +sinα

2 +cosα

令z=

2 +sinα

2 +cosα

，則zcosα-sinα=

2

-

2

z，∴|

2 - 2 z

z2+1

|≤1
∴2-

3

≤z≤2+

3

∴

y-3

x+2

的取值范圍為[2-

3

，2+

3

]；
（3）x-2y=-12+2

2

cosα-4

2

sinα=-12-2

10

sin（α-θ）
∴-12-2

10

≤x-2y≤-12+2

10

．

點評：本題考查取值范圍的確定，考查三角函數(shù)知識，屬于中檔題．