Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y²=2px（p＞0）的準線分別交于A、B兩點，O為坐標原點，若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為

3

，則該拋物線的標準方程是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：

分析：把x=-

p

2

代入y=±

b

a

x，解得y，可得|AB|=

pb

a

，利用△AOB的面積為

3

，可得

1

2

×

p

2

×

pb

a

=

3

，再利用e=

c

a

=

1+( b a )2

=2，解得

b

a

．即可得出p．

解答： 解：把x=-

p

2

代入y=±

b

a

x，解得y=±

pb

2a

．
∴|AB|=

pb

a

，
∵△AOB的面積為

3

，
∴

1

2

×

p

2

×

pb

a

=

3

，
由e=

c

a

=

1+( b a )2

=2，解得

b

a

=

3

．
∴

p2

4

×

3

=

3

，
解得p=2．
∴該拋物線的標準方程是y²=4x．
故答案為：y²=4x．

點評：本題考查了雙曲線與拋物線的標準方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．