Question

（Ⅰ）解不等式a2x-1＞(

1

a

)x-2（a＞0且a≠1）．
（Ⅱ）設(shè)集合S={x|log₂（x+2）≤2}，集合T={y|y=(

1

2

)x-1，x≥-2}，求S∩T，S∪T．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,并集及其運(yùn)算,交集及其運(yùn)算

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）將不等式先化為同底的指數(shù)形式，對(duì)底數(shù)a分0＜a＜1和a＞1兩種情況分別求解，即可得到答案；
（Ⅱ）根據(jù)對(duì)數(shù)不等式的解法，求出集合S，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域即為集合T，利用交集和并集的定義，即可得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）不等式a2x-1＞(

1

a

)x-2（a＞0且a≠1）可化為a^2x-1＞a^2-x，
①當(dāng)a＞1時(shí)，不等式即為2x-1＞2-x，解得x＞1，
故原不等式解集為（1，+∞）；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式即為2x-1＜2-x，解得x＜1，
故原不等式解集為（-∞，1）；
（Ⅱ）∵集合S={x|log₂（x+2）≤2}，
根據(jù)log₂（x+2）≤2，即log₂（x+2）≤log₂4，解得-2＜x≤2，
∴S=2，2]，
∵集合T={y|y=(

1

2

)x-1，x≥-2}，
∴T={y|-1＜y≤(

1

2

)-2-1}=(-1，3]，
∴S∩T=（-1，2]，S∪T=（-2，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式的解法，對(duì)于指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的不等式，求解的時(shí)候要將底數(shù)化為同底，然后利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解，若底數(shù)a不確定，則需要分類(lèi)討論進(jìn)行研究．屬于基礎(chǔ)題．