Question

已知函數(shù)f（x）=sinx•cosx，x∈R，給出下列四個(gè)命題：①f（x）是奇函數(shù)；②f（x）的圖象關(guān)于直線x=

3

5

對稱；③f（x）在區(qū)間（-

π

4

，

π

4

）上是增函數(shù)；④f（x）的值域是[-

1

2

，

1

2

]．其中正確命題的序號是

 

（注：把你認(rèn)為正確命題的序號填在橫線上）

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正弦

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：函數(shù)f（x）=sinx•cosx=

1

2

sin2x，x∈R，下列四個(gè)命題：
①由f（-x）=-f（x），即可得出奇偶性；
②sin2x=±1，解得x=

kπ

4

(k∈Z)，可得f（x）的圖象的對稱軸；
③若x∈（-

π

4

，

π

4

），則2x∈(-

π

2

，

π

2

)，因此f（x）在區(qū)間（-

π

4

，

π

4

）上是增函數(shù)；
④由于sin2x∈[-1，1]，可得f（x）的值域是[-

1

2

，

1

2

]．

解答： 解：函數(shù)f（x）=sinx•cosx=

1

2

sin2x，x∈R，下列四個(gè)命題：
①∵f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)，正確；
②sin2x=±1，解得x=

kπ

4

(k∈Z)，可得f（x）的圖象關(guān)于直線x=

kπ

4

（k∈Z）對稱，因此不正確；
③若x∈（-

π

4

，

π

4

），則2x∈(-

π

2

，

π

2

)，因此f（x）在區(qū)間（-

π

4

，

π

4

）上是增函數(shù)，正確；
④∵sin2x∈[-1，1]，∴f（x）的值域是[-

1

2

，

1

2

]，正確．
其中正確命題的序號是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、倍角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．