Question

已知集合P={x|2x²-7x+3≤0}，函數(shù)f（x）=log₂（ax²-2x+2）的定義域?yàn)镼．
（1）若P∩Q=[

1

2

，

2

3

），P∪Q=（-2，3]，求a的值；
（2）若P∩Q=∅，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）集合P可直接解出，集合Q為含參的二次型不等式的解集，結(jié)合條件可求出Q，進(jìn)一步求出a；
（2）由條件可求出集合Q的范圍，進(jìn)一步求解a的范圍即可．

解答：解：（1）集合P={x|2x²-7x+3≤0}={x|

1

2

≤ x≤3}，集合Q={x|ax²-2x+2＞0}，
由P∩Q=[

1

2

，

2

3

），P∪Q=（-2，3]，得Q=(-2，

2

3

)，即-2和

2

3

是ax²-2x+2=0的兩根，所以a=-

3

2

（2）若P∩Q=∅，即x∈P時(shí)，ax²-2x+2≤0恒成立，只要a≤

2x-2

x2

=

2

x

-

2

x2

的最小值．
而

2

x

-

2

x2

，x∈P的最小值為-4，故a 的范圍為a≤-4

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次不等式的解集、集合的關(guān)系和運(yùn)算，分類討論和化歸轉(zhuǎn)化思想，難度一般．