Question

（2011•安徽模擬）已知函數f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上是增函數，函數f（x）在R上有三個零點，且1是其中一個零點．
（1）求b的值；
（2）求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數的單調性判斷出x=0是函數的一個極值點，求出函數的導函數，令f′（0）=0，求出b的值．
（2）將b的值代入f（x），將x=1代入f（x）的解析式令其值為0，得到a，c的關系，求出導函數，令導函數為0，得到函數的兩個極值點，據函數的三個根，令

2a

3

＞1求出a的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c
∴f'（x）=-3x²+2ax+b．
因為f（x）在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上是增函數，
所以當x=0時，f（x）取到極小值，即f'（0）=0
∴b=0．
（2）由（1）知，f（x）=-x³+ax²+c
∵1是函數f（x）的一個零點，即f（1）=0，
∴c=1-a
∵f'（x）=-3x²+2ax=0的兩個根分別為x1=0，x2=

2a

3

．
又∵f（x）在（0，1）上是增函數，且函數f（x）在R上有三個零點，
∴x2=

2a

3

＞1，
即a＞

3

2

．

點評：函數在極值點處的導數值為0，導函數大于0對應函數的單調遞增區(qū)間；導函數小于0對應函數的單調遞減區(qū)間．