Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+a2﹣1．
（1）若對(duì)任意的x∈R均有f（1﹣x）=f（1+x），求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，求f（x）的最小值，用g（a）表示其最小值，判斷g（a）的奇偶性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=x2+2ax+a2﹣1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，

∴函數(shù)的對(duì)稱軸x=﹣a=1，

∴a=﹣1

（2）解：∵f（x）=x2+2ax+a2﹣1=（x+a）2﹣1，其對(duì)稱軸為x=﹣a，

當(dāng)﹣a≤﹣1時(shí)，即a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞增，故g（a）=f（x）min=f（﹣1）=a2﹣2a，

當(dāng)﹣1＜﹣a＜1時(shí)，即﹣1＜a＜1時(shí)，故g（a）=f（x）min=f（a）=﹣1，

當(dāng)﹣a≥1時(shí)，即a≤﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞減，故g（a）=f（x）min=f（1）=a2+2a，

∴g（a）= ，

∵g（﹣a）=g（a），

∴g（a）為偶函數(shù)

【解析】1、由二次函數(shù)的性質(zhì)可得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，函數(shù)的對(duì)稱軸x=﹣a=1，∴a=﹣1。
2、由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當(dāng)﹣a≤﹣1時(shí)，即a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞增，故g（a）=f（x）min=f（﹣1）=a2﹣2a

當(dāng)﹣1＜﹣a＜1時(shí)，即﹣1＜a＜1時(shí)，故g（a）=f（x）min=f（a）=﹣1，當(dāng)﹣a≥1時(shí)，即a≤﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞減，故g（a）=f（x）min=f（1）=a2+2a，得出函數(shù)的解析式，由偶函數(shù)定義可證。

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識(shí)，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�