Question

16．已知f（x）=x²+（a+1）x+b，f（3）=3，其中a，b∈R
（1）若f（x）≥x對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求a，b的值．
（2）求關(guān)于x的不等式f（x）＞-9-4a的解集．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得判別式小于等于0，解不等式可得a，b的值；
（2）化簡(jiǎn)不等式f（x）＞-9-4a，可得（x+a）（x+1）＞0，對(duì)a討論，分a=1，a＞1，a＜1三種情況，可得不等式的解集．

解答 解：（1）f（3）=3，可得3a+b=-9．
f（x）≥x即為x²+ax+b≥0，
則x²+ax+b≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
即有△=a²-4b=a²-4（-9-3a）=（a+6）²≤0，
由（a+6）²≥0，即有a+6=0，
解得a=-6，b=9；
（2）不等式f（x）＞-9-4a，即為
x²+（a+1）x-9-3a＞-9-4a，
即有x²+（a+1）x+a＞0，
即（x+a）（x+1）＞0，
當(dāng)a=1時(shí)，（x+1）²＞0，原不等式的解集為{x|x≠-1}；
當(dāng)a＞1時(shí)，-a＜-1，原不等式的解集為{x|x＞-1或x＜-a}；
當(dāng)a＜1時(shí)，-a＞-1，原不等式的解集為{x|x＞-a或x＜-1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次不等式恒成立問題的解法，同時(shí)考查二次不等式的解法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，屬于中檔題．