Question

3．在數(shù)列{a_n}中，a_n+1＞a_n，a₁=1且（a_n+1-a_n）²-2（a_n+a_n+1）+1=0，猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 通過(guò)計(jì)算出前幾項(xiàng)的值猜想通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：依題意，$（{{a}_{2}-1）}^{2}$-2（1+a₂）+1=0，
化簡(jiǎn)得：${{a}_{2}}^{2}$=4a₂，
解得：a₂=4或a₂=0（舍）；
（a₃-4）²-2（4+a₃）+1=0，
化簡(jiǎn)得：${{a}_{3}}^{2}$-10a₃+9=0，
解得：a₃=9或a₃=1（舍）；
（a₄-9）²-2（9+a₄）+1=0，
化簡(jiǎn)得：${{a}_{4}}^{2}$-10a₄+9=0，
解得：a₄=16或a₄=4（舍）；
猜想：a_n=n²．
下面用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
②當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，有a_k=k²，
∵（a_k+1-a_k）²-2（a_k+a_k+1）+1=0，
∴（a_k+1-k²）²-2（k²+a_k+1）+1=0，
化簡(jiǎn)得：${{a}_{k+1}}^{2}$-2（k²+1）a_k+1+（k²+2k+1）（k²-2k+1）=0，
∴a_k+1=k²+2k+1或a_k+1=k²-2k+1（舍），
∴a_k+1=k²+2k+1=（k+1）²，即當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立；
由①、②可知：a_n=n²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．