Question

在等比數列{an}中,an>0(n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3與a5的等比中項為2.

(1) 求數列{an}的通項公式;

(2) 設bn=log2an,求數列{bn}的前n項和Sn;

(3) 是否存在k∈N*,使得++…+<k對任意n∈N*恒成立?若存在,求出k的最小值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

 (1) 因為a1a5+2a3a5+a2a8=25,{an}為等比數列,

所以+2a3a5+=25,所以(a3+a5)2=25.

又an>0,所以a3+a5=5,又a3與a5的等比中項為2,

所以a3a5=4,而q∈(0,1),

所以a3>a5,所以a3=4,a5=1,所以q=,a1=16,

所以an=16×=25-n.

(2) 因為bn=log2an=log225-n5-n,

所以-bn=-1,b1=log2a1=log216=log224=4.

所以{bn}是以4為首項、-1為公差的等差數列,所以Sn=.

(3) 由(2)知Sn=,所以=.

當n≤8時,>0;當n=9時,=0;當n>9時,<0.

所以當n=8或9時,+++…+=18最大.

故存在k∈N*,使得++…+<k對任意n∈N*恒成立,k的最小值為19.