Question

4．二次函數(shù)f（x）=x²-2bx+a，且f（x）=f（2-x），且方程f（x）-$\frac{3}{4}$a=0有兩個(gè)相等實(shí)根，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 由f（x）=f（2-x），可得f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，求得b=1．根據(jù)方程f（x）-$\frac{3}{4}$a=0有兩個(gè)相等實(shí)根，它的判別式△=0，求得a的值，克的函數(shù)f（x）的解析式．

解答 解：根據(jù)二次函數(shù)f（x）=x²-2bx+a，滿足f（x）=f（2-x），
可得f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，即 b=1，f（x）=x²-2x+a．
方程f（x）-$\frac{3}{4}$a=0有兩個(gè)相等實(shí)根，即 x²-2x+$\frac{a}{4}$=0有兩個(gè)相等實(shí)根，
故有它的判別式△=4-a=0，求得a=4，∴f（x）=x²-2x+4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．