Question

已知雙曲線x²-3y²=3的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，以F為左焦點(diǎn)，以l為左準(zhǔn)線的橢圓C的中心為A，又A點(diǎn)關(guān)于直線y=2x的對稱點(diǎn)A′恰好在雙曲線的左準(zhǔn)線上，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可求得F的坐標(biāo)，設(shè)出所求方程，根據(jù)離心率求得A的坐標(biāo)的表達(dá)式，根據(jù)A與A’關(guān)于直線y=2x對稱，表示出A′的坐標(biāo)代入直線x=-

3

2

求得離心率e，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：依題意，F(xiàn)（2，0），l：x=

3

2

.
設(shè)所求方程為

(x-2)2+y2

|x- 3 2 |

=e，0＜e＜1，
即（1-e²）x²-（4-3e²）x+y²+4-

9

4

e2=0，
其中心為A(

4-3e2

2(1-e2)

，0).
∵A與A′關(guān)于直線y=2x對稱，
∴A′的坐標(biāo)為(-

3(4-3e2)

10(1-e2)

，

2(4-3e2)

5(1-e2)

)
又A′在直線x=-

3

2

上，∴-

3(4-e2)

10(1-e2)

=-

3

2

，解之得e2=

1

2

．
于是所求方程為：

1

2

x2-

5

2

x+y2+

23

8

=0，即

(x- 5 2 )2

1 2

+

y2

1 4

=1.

點(diǎn)評：本題主要考查了圓的方程的綜合運(yùn)用，雙曲線與圓的位置關(guān)系．考查了學(xué)生分析問題和和解決問題的能力．