Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，
PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AC⊥PC．AC⊥BC．通過(guò)直線與平面垂直的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理證明平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{CP}$分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)以及面PAC的法向量．面EAC的法向量，通過(guò)二面角P-AC-E的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求出直線PA的向量，利用向量的數(shù)量積求解直線PA與平面EAC所成角的正弦值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC．
∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2$\sqrt{2}$．
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．
∵AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．…（5分）
（Ⅱ）如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{CP}$分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，-2，0）．
設(shè)P（0，0，2a）（a＞0），則E（1，-1，a），$\overrightarrow{CA}$=（2，2，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，2a），$\overrightarrow{CE}$=（1，-1，a）．
取$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0），則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CP}$=0，$\overrightarrow{m}$為面PAC的法向量．
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為面EAC的法向量，則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CE}$=0，
即$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ x-y+az=0\end{array}\right.$，取x=a，y=-a，z=-2，則$\overrightarrow{n}$=（a，-a，-2），
依題意，|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow m•\overrightarrow n|}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}$=$\frac{a}{{\sqrt{{a^2}+2}}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，則a=2．   …（10分）
于是n=（2，-2，-2），$\overrightarrow{PA}$=（2，2，-4）．
設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow n|}}{{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow n|}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．