Question

設(shè)平面向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．若存在實(shí)數(shù)m（m≠0）和角θ(θ∈(-

π

2

，

π

2

))，使向量

c

=

a

+（tan²θ-3）

b

，

d

=-m

a

+

b

tanθ，且

c

⊥

d

．
（I）求函數(shù)m=f（θ）的關(guān)系式；  
（II）令t=tanθ，求函數(shù)m=g（t）的極值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)向量

a

、

b

的坐標(biāo)算出向量

c

、

d

的坐標(biāo)，由

c

⊥

d

得

c

與

d

的數(shù)量積為0，由此建立關(guān)于m和θ的關(guān)系式，化簡整理既得函數(shù)m=f（θ）的關(guān)系式；
（II）設(shè)tanθ=t，由（I）得m是關(guān)于t的三次多項(xiàng)式函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)并討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得當(dāng)t＜-1或t＞1時導(dǎo)數(shù)為正數(shù)，當(dāng)-1＜t＜1時導(dǎo)數(shù)為負(fù)數(shù)，由此即可得到函數(shù)的極大值、極小值，以及相應(yīng)的θ值．

解答：解：（I）∵向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

），
∴向量

c

=（

3

+

1

2

（tan²θ-3），-1+

3

2

（tan²θ-3））=（

1

2

tan²θ+

3

-

3

2

，

3

2

tan²θ-1-

3

2

3

）
向量

d

=（-

3

m+

1

2

tanθ，m+

3

2

tanθ）
∵且

c

⊥

d

，
∴

c

•

d

=0，即（

1

2

tan²θ+

3

-

3

2

）（-

3

m+

1

2

tanθ）+（

3

2

tan²θ-1-

3

2

3

）（m+

3

2

tanθ）=0
化簡整理，得m=

1

4

(tan3θ-3tanθ)(-

π

2

＜θ＜

π

2

)，即為函數(shù)m=f（θ）的關(guān)系式．
（II）設(shè)tanθ=t，得m=g(t)=

1

4

(t3-3t)，t∈R
求導(dǎo)得m′=g′(t)=

3

4

(t2-1)，令g'（t）=0，得t₁=-1，t₂=1
當(dāng)t∈（-∞，-1），g'（t）＞0，g（t）為增函數(shù)；當(dāng)t∈（-1，1）時，g'（t）＜0，g（t）為減函數(shù)；
當(dāng)t∈（1，+∞）時，g'（t）＞0，g（t）為增函數(shù)．
所以當(dāng)t=-1，即θ=-

π

4

時，m=g（t）有極大值

1

2

；當(dāng)t=1，即θ=

π

4

時，m=g（t）有極小值-

1

2

．

點(diǎn)評：本題給出向量含有三角函數(shù)式的坐標(biāo)形式，求參數(shù)m關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)的極值，著重考查了向量數(shù)量積運(yùn)算和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等知識，屬于中檔題．