Question

袋中有大小相同的兩個球，編號分別為1和2，從袋中每次取出一個球，若取到球的編號為偶數(shù)，則把該球放回袋中且編號加1并繼續(xù)取球，若取到球的編號為奇數(shù)，則取球停止，用ξ表示所有被取球的編號之和．
（1）求ξ的概率分布；
（2）求ξ的數(shù)學(xué)期望和方差．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）ξ可取1、3、5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的概率分布．
（2）由ξ的概率分布能求出ξ的數(shù)學(xué)期望和方差．

解答： （第（1）小題（8分），第（2）小題4分）
解：（1）ξ可取1、3、5，…（1分）
ξ=1時，第一次摸到1號球，P(ξ=1)=

1

2

．…（2分）
ξ=3時，第一次摸到2號球，第二次摸到1號球，
P（ξ=3）=

1

2

×

1

2

=

1

4

，…（4分）
ξ=5時，第一次摸到2號球，第二次摸到3號球，
P（ξ=5）=

1

2

×

1

2

=

1

4

，…（6分）
∴ξ的概率分布為：

ξ	1	3	5
P	1 2	1 4	1 4

…（8分）
（2）由（1）得Eξ=1×

1

2

+3×

1

4

+5×

1

4

=

5

2

，…（10分）
Eξ2=1×

1

2

+9×

1

4

+25×

1

4

=9，
∴Dξ=Eξ2-(Eξ)2=9-(

5

2

)2=

11

4

．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差的求法，是中檔題．