沿著正四面體O—ABC的三條棱,,的方向有大小等于1、2和3的三個(gè)力f1,f2,f3.試求此三個(gè)力的合力f的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦值.

解：如圖所示,用a,b,c分別代表棱,,上的三個(gè)單位向量,則f1=a,f2=2b,f3=3c,

所以f=f1+f2+f3=a+2b+3c,

∴|f|2=(a+2b+3c)2=|a|2+4|b|2+9|c|2+4a·b+6a·c+12b·c=1+4+9+4|a||b|·cos〈a,b〉+6|a||c|·cos〈a,c〉+12|b||c|·cos〈b,c〉=14+4cos60°+6cos60°+12cos60°=14+2+3+6=25.

∴|f|=5,即所求合力的大小為5.

且cos〈f,a〉===，

同理可得cos〈f,b〉=,cos〈f,c〉=.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，一棱長(zhǎng)為2的正四面體O-ABC的頂點(diǎn)O在平面α內(nèi)，底面ABC平行于平面α，平面OBC與平面α的交線為l．
（1）當(dāng)平面OBC繞l順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與平面α第一次重合時(shí)，求平面OBC轉(zhuǎn)過(guò)角的正弦
值．
（2）在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△OBC在平面α上的投影為等腰△OB1C1（如圖1），B1C1的中點(diǎn)為O1．當(dāng)AO⊥平面α?xí)r，問(wèn)在線段OA上是否存在一點(diǎn)P，使O1P⊥OBC？請(qǐng)說(shuō)明理由．

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（2）在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△OBC在平面α上的投影為等腰△OB1C1（如圖1），B1C1的中點(diǎn)為O1．當(dāng)AO⊥平面α?xí)r，問(wèn)在線段OA上是否存在一點(diǎn)P，使O1P⊥OBC？請(qǐng)說(shuō)明理由．

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