Question

如圖，已知扇形AOB是半徑為2，圓心角為

π

6

的裝飾材料，點(diǎn)P是弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，△PQR為扇形的內(nèi)接三角形，且PQ∥OA，某設(shè)計(jì)師計(jì)劃在該扇形裝飾材料上彩繪，并以△PQR為主題著色板，記∠POA=θ．
（Ⅰ）將主題著色板的面積S表示為θ的函數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)角θ取何值時(shí)，主題著色板的面積S最大？并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,弧度制的應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）作PE⊥OA于點(diǎn)E，QF⊥OA于點(diǎn)F，分別表示出PE，OF，進(jìn)而可表示出EF，進(jìn)而利用三角形面積公式表示出三角形的面積，并利用二倍角公式和兩角和公式化簡．
（Ⅱ）根據(jù)θ確定2θ+

π

3

的范圍，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）作PE⊥OA于點(diǎn)E，QF⊥OA于點(diǎn)F，
在Rt△OEP中，PE=2sinθ，OE=2cosθ
在Rt△OQF中，OF=

QF

tan π 3

=2

3

sinθ
∴EF=OE-OF=2cosθ-2

3

sinθ，
∴S_△PQE=

1

2

PQ•PE=

1

2

EF•PE=

1

2

sinθ（2cosθ-2

3

sinθ）=2sinθcosθ-2

3

sin²θ=sin2θ-

3

（1-cos2θ）=sin2θ+

3

cos2θ-

3

=2sin（2θ+

π

3

）-

3

，（0＜θ＜

π

6

）
（Ⅱ）∵0＜θ＜

π

6

，所以

π

3

＜2θ+

π

3

＜

2π

3

，
∴當(dāng)2θ+

π

3

=

π

2

，即θ=

π

12

時(shí)，S有最大值且為2-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．注重了對(duì)學(xué)生分析問題和基礎(chǔ)知識(shí)的掌握．