Question

如圖，已知△ASD中，SD=3，CD=

5

，cos∠SDC=-

1

5

5

，SA=2AD，AB⊥SD交SC于B，M為SB上點，且SM=2MB，將△SAB沿AB折起，使平面SAB⊥平面ABCD

（Ⅰ）求證：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）求三棱錐S-CDM的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）過C作CO⊥SD交SD的延長線于O，在BC上取點N使BN：NC=1：2，連接MN，證明AM∥平面SCD，只需證明平面AMN∥平面SCD；
（Ⅱ）由AM∥平面SCD知M到平面SCD的距離等于A到平面SCD的距離，利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐S-CDM的體積．

解答： （Ⅰ）證明：如圖：過C作CO⊥SD交SD的延長線于O，在BC上取點N使BN：NC=1：2，連接MN，
由于SM：MB=2：1，∴MN∥BC，
在平面SCD中，由CD=

5

，cos∠SDC=-

1

5

5

，得DO=1，CO=2，
即SA=AO，
又AB⊥SD得SB=BC，
又SM：MB=2：1，BN：NC=1：2，∴AN∥CD
∴平面AMN∥平面SCD，
∴AM∥平面SCD；

（Ⅱ）解：由AM∥平面SCD知M到平面SCD的距離等于A到平面SCD的距離，
∵cos∠SDC=-

1

5

5

，
∴sin∠SDC=

2 5

5

，
∵AD=1，CD=

5

∴S_△ADC=

1

2

•1•

5

•

2 5

5

=1，
∴V_S-CDM=V_M-SCD=V_A-SCD=V_S-ACD=

1

3

•1•2=

2

3

．

點評：本題考查線面平行，考查三棱錐體積的計算，正確運用線面平行的判定定理是關鍵．