Question

求證：存在無窮多對正整數(shù)（a，b）滿足ab|a⁸+b⁴+1．

Answer 1

考點：整除的基本性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用整除的性質(zhì)，結(jié)合互質(zhì)數(shù)，推出滿足題意的解，類推出結(jié)果即可．

解答： 解：ab|a⁸+b⁴+1等價于ab|（a⁸+1）（b⁴+1）
注意到a與a⁸+1，b與b⁴+1互質(zhì)，因此ab|（a⁸+1）（b⁴+1）又等價于a|b⁴+1且b|a⁸+1，
假設(shè)（a，b）是一個解，顯然a≠b
如果a＜b，設(shè)aa'=b⁴+1，則b⁴＜b⁴+1=aa'＜ba'得到a'＞b³≥b．注意到b|（a⁸+1）a'⁸且b|（aa'）⁸-1，因此b|a'⁸+1，即（a'，b）也是一個解．a(chǎn)'+b＞a+b．
如果a＞b，設(shè)bb'=b⁸+1，類似上面的方法可以得到（a，b'）也是一個解且a+b'＞a+b．
顯然（2，1）是一個解．按上面的方法遞推可得無窮多個解．
∴存在無窮多對正整數(shù)（a，b）滿足ab|a⁸+b⁴+1．

點評：本題考查整除的性質(zhì)的應(yīng)用，互質(zhì)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想．