Question

已知函數(shù)．
（I）求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若以函數(shù)y=F（x）（x∈（0，3]）的圖象上任意一點(diǎn)P（x，y）為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（III）是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)y=f（1+x²）的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出其導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求出其單調(diào)區(qū)間；
（II）先把問題轉(zhuǎn)化為F'（x）=≤恒成立；再結(jié)合二次函數(shù)即可求出結(jié)論；
（III）先根據(jù)條件把問題轉(zhuǎn)化為m=ln（1+x²）-x²-有四個(gè)不同的根；求出其導(dǎo)函數(shù)，找到其極值點(diǎn)，根據(jù)極值即可得到結(jié)論．
解答：解：（I）∵．
∴F'（x）=-=，（x＞0）；
∵x＞0；
所以：F'（x）＞0⇒x＞a．
∴F（x）在（a，+∞）上遞增；
 F'（x）＜0⇒0＜x＜a，
 F（x）在（0，a）上遞減．
所以：函數(shù)F（x）的單調(diào)增區(qū)間為（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，a）．
（II）因?yàn)椋篎'（x）= （0＜x≤3），
則k=F'（x）=≤恒成立；
即a≥-+x在（0，3]上恒成立，
當(dāng)x=時(shí)，-+x取最大值，
∴a≥．
即a的最小值為．
（III）=x²+m-的圖象與函數(shù)y=f（1+x²）=ln（1+x²）的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
即，x²+m-=ln（1+x²）有四個(gè)不同的根，亦即m=ln（1+x²）-x²-有四個(gè)不同的根；
令G（x）=ln（1+x²）-x²-；
則G'（x）=-x==；
當(dāng)x變化時(shí)，G'（x），G（x）的變化情況如下表，

由表格知，G（x）的極小值G（0）=，G（x）的極大值G（1）=G（-1）=ln2＞0．
∴m∈（，ln2），y=G（x）與y=m恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
即當(dāng)m∈（，ln2）時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)y=f（1+x²）的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，最值，以及恒成立問題的判斷．