已知函數(shù)f(x)=e|lnx|+a|x-1|(a為實數(shù))
(I)若a=1,判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的單調(diào)性(不必證明);
(II)若對于任意的x∈(0,1),總有f(x)的函數(shù)值不小于1成立,求a的取值范圍.
分析:(I)a=1時,f(x)=elnx+x-1=2x-1,故易知f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù);
(II)要使對于任意的x∈(0,1),f(x)的函數(shù)值不小于1成立,即使
1
x
-ax+a≥1
(x∈(0,1))恒成立,利用分離參數(shù)法可求.
解答:解:(I)當(dāng)x≥1時,f(x)=elnx+x-1=2x-1,∴f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù);
(II)當(dāng)0<x<1時,由
1
x
-ax+a≥1
(1-x)a≥
x-1
x

∵x∈(0,1),∴1-x>0,∴a≥-
1
x
在x∈(0,1)上恒成立而-
1
x
<-1
,
∴a≥-1,即a的取值范圍為[-1,+∞)
點評:此題考查學(xué)生單調(diào)性的判斷,考查函數(shù)的恒成立問題處理策略,是一道中檔題.
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1
x
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