Question

（本小題滿分12分）
在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F為棱AD、AB的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面CB₁D₁；
（2）求證：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁

Answer 1

（1）連結(jié)BD，，  EF∥平面CB₁D（2）AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁， AA₁⊥B₁D₁，又A₁C₁⊥B₁D₁ B₁D₁⊥平面CAA₁C₁平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁

試題分析：（1）證明:連結(jié)BD.
在長方體中，對角線.
又 E、F為棱AD、AB的中點(diǎn)，
.
.
又B₁D₁平面，平面，
  EF∥平面CB₁D₁.                  
（2） 在長方體中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，
 AA₁⊥B₁D₁.
又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.
又 B₁D₁平面CB₁D₁，
平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．
點(diǎn)評：線面平行的判定：需在平面內(nèi)找一直線與面外直線平行，本題充分借助出現(xiàn)的中點(diǎn)可考慮中位線的平行關(guān)系；面面垂直的判定：要證兩面垂直需在其中一個平面內(nèi)找到另外一面的垂線，即將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直