Question

【題目】已知函數(shù)，，設(shè)的定義域為.

（1）求；

（2）用定義證明在上的單調(diào)性，并直接寫出在上的單調(diào)性；

（3）若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）證明見解析；單調(diào)遞減；

（3）.

【解析】

（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域；

（2）根據(jù)定義證明單調(diào)性的步驟證明即可，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到在上的單調(diào)性；

（3）若對一切恒成立，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合三角函數(shù)的最值，可求出a的范圍.

解：（1）

要使函數(shù)有意義，則，

即，

∴，

故函數(shù)的定義域為：

（2）f（x）在上單調(diào)遞減，

證明如下：設(shè)＜＜3，

則f（x1）﹣f（x2）＝，

又＜＜3，

∴，，，

∴f（x1）﹣f（x2）>0,即f（x1）>f（x2）

∴f（x）在（﹣∞，3）上單調(diào)遞減,

∴在（﹣∞，3）上單調(diào)遞減.

（3）∵對一切恒成立，

∴

由 ，可得，又，

∴，即；

由，可得

又，

∴，

解得：，或

又

故a的取值范圍為 ．