Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與軸的正半軸重合，圓的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（Ⅰ）若， 是直線與軸的交點(diǎn)， 是圓上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值；

（Ⅱ）若直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于圓的半徑倍，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）或．

【解析】試題分析：（Ⅰ）首先，根據(jù)所給a的值，將圓的極坐標(biāo)方程化為普通方程，將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后，根據(jù)圓的性質(zhì)，將所求的最值轉(zhuǎn)化為到圓心的距離；（Ⅱ）首先，得到原點(diǎn)普通方程，然后，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式，建立關(guān)系式求解a的值即可．

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，圓的極坐標(biāo)方程為，可化為，

化為直角坐標(biāo)方程為，即.

直線的普通方程為，與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵圓心與點(diǎn)的距離為，

∴的最大值為.

（Ⅱ）由，可化為，

∴圓的普通方程為.

∵直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于圓的半徑的倍，

∴由垂徑定理及勾股定理得：圓心到直線的距離為圓半徑的一半，

∴，解得或．