Question

（2006•崇文區(qū)二模）已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，BC=CC₁，點D、E分別為CC₁和BC中點．
（Ⅰ）求二面角C-AB-D 的大小；
（Ⅱ）求證AB₁⊥BD；
（Ⅲ）求AD與平面AEB₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB中點P連DP，CP．可得∠DPC是二面角C-AB-D的平面角．解三角形DPC可得二面角D-AB-C的大小
（Ⅱ）根據(jù)已知先證得BD⊥平面AB₁E，進而由線面垂直的性質(zhì)得到AB₁⊥BD
（Ⅲ） 設(shè) BD∩B₁E=O，連AO．可得∠DAO是AD與平面AEB₁所成的角．解三角形可得答案．

解答：證明：（Ⅰ）取AB中點P連DP，CP．
∵△ABC為正三角形，
∴CP⊥AB．
又∵CC₁⊥平面 ABC，
∴DP⊥AB．
∴∠DPC是二面角C-AB-D的平面角．
∴tan∠DPC=

CD

CP

=

a

3 a

=

3

3

，
∴∠DPC=30°，
∴二面角D-AB-C的大小為30⁰．-------------------4
（Ⅱ）∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴△ABC為正三角形．
∵E為BC中點，
∴AE⊥BC．
而平面ABC⊥平面BB₁C₁C，BC為交線，
∴AE⊥平面BB₁C₁C．
∴AE⊥BD
又 BC=CC₁，D為CC₁，
∴△BCD≌△B₁BE，∠DBC=∠EB₁B．
∵∠DBC+∠BDC=90°，
∴BD⊥B₁E．
又∵AE∩B₁E=E，AE，B₁E?平面AB₁E
∴BD⊥平面AB₁E
又∵AB₁?平面AB₁E
∴AB₁⊥BD．-------------------------------------------9
（Ⅲ） 設(shè) BD∩B₁E=O，連AO．
∵BD⊥B₁E．AB₁⊥BD．B₁E 與 AB₁相交，
∴BD⊥平面AEB₁．
∴AO是AD在平面AEB₁內(nèi)的射影，
∴∠DAO是AD與平面AEB₁所成的角．
設(shè) BC=2a，則BD=AD=B₁E=

5

a．
∴BO=

a×2a

5 a

=

2 5 a

5

，DO=

5

a-

2 5 a

5

=

3 5 a

5

．
∴sin∠DAO=

OD

AD

=

3

5

．-----------------------------------14

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面所成的角，是空間線面關(guān)系的綜合應(yīng)用，難度中檔．