Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時，an=

2an-1

an-1+2

．
（1）求a₂，a₃，a₄；     
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n≥2時，a₁=1，由an=

2an-1

an-1+2

，代入計算可得a₂，a₃，a₄； 
（2）猜想an=

1

2n-1

，由an=

2an-1

an-1+2

，取倒數(shù)，從而可得{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n．

解答：解：（1）當(dāng)n≥2時，a₁=1，由an=

2an-1

an-1+2

得a2=

2

3

，a3=

2

4

=

1

2

，a4=

2

5

；
（2）猜想an=

1

2n-1

證明：當(dāng)n≥2時，由an=

2an-1

an-1+2

得

1

an

=

an-1+2

2an-1

=

1

an-1

+

1

2

∴

1

an

-

1

an-1

=

1

2

∵a₁=1，
∴{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列
∴

1

an

=1+2(n-1)
∴an=

1

2n-1

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查學(xué)生的計算能力，考查等差數(shù)列的證明，解題的關(guān)鍵是取倒數(shù)，構(gòu)造等差數(shù)列．