Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1+na_n=a_n²+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，把n=1，2，3分別代入可求a₂，a₃，a₄的值，歸納數(shù)列中每一項(xiàng)的值與序號的關(guān)系，我們可以歸納推理出a_n的一個(gè)通項(xiàng)公式．
（2）a_n=n+1的證明可以使用數(shù)學(xué)歸納法，先證明n=1時(shí)等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)等式成立，進(jìn)而論證n=k+1時(shí)，等式依然成立，最終得到等式a_n=n+1恒成立．

解答 解：（1）由a₁=2，得a₂=a₁²-a₁+1=3
由a₂=3，得a₃=a₂²-2a₂+1=4
由a₃=4，得a₄=a₃²-3a₃+1=5
（2）故猜想a_n=n+1；
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2=1+1，等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即a_k=k+1，
那么a_k+1=a_k（a_k-k）+1=（k+1）（k+1-k）+1=k+2．
也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=（k+1）+1
據(jù)①和②，對于所有n≥1，有a_n=n+1．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，是解題的難點(diǎn)．