Question

C是以原點(diǎn)O為中心，焦點(diǎn)在y軸上的等軸雙曲線在第一象限部分，曲線C在點(diǎn)P處的切線分別交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，則（　�。�

• A、|OP|＜

  1

  2

  |AB|
• B、|OP|=|AB|
• C、

  1

  2

  |AB|＜|OP|＜|AB|
• D、|OP|=

  1

  2

  |AB|

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y=kx+m，聯(lián)立

y=kx+m y2-x2=a2

，求出P（

km

1-k2

，

m

1-k2

），再分別求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而推導(dǎo)出P為AB中點(diǎn)，∠AOB=90°，由此能求出|OP|=

1

2

|AB|．

解答： 解：設(shè)過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y=kx+m，
∴

y=kx+m y2-x2=a2

，消去y，得（kx+m）²-x²=a²，
即（k²-1）x²+2kmx+m²-a²=0，
∴xP=

km

1-k2

，∴P（

km

1-k2

，

m

1-k2

），
∵

y=kx+m y=x

，∴B（

m

1-k

，

m

1-k

），
∵

y=kx+m y=-x

，∴A（

-m

k+1

，

m

k+1

），
∴xp=

xA+xB

2

，y_P=

yA+yB

2

，
∴P為AB中點(diǎn)，∠AOB=90°，
∴|OP|=

1

2

|AB|．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的靈活運(yùn)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的漸近線方程的合理運(yùn)用．