已知函數(shù)f(x)=logax和g(x)=2loga(2x+t-2)，(a＞0，a≠1，t∈R)的圖像在x=2處的切線互相平行.

(Ⅰ)求t的值；

(Ⅱ)設(shè)F(x)=g(x)-f(x)，當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，F(xiàn)(x)≥2恒成立，求a的取值范圍.

解：(Ⅰ)∵f′(x)=logae,g′(x)=logae 

∵函數(shù)f(x)和g(x)的圖像在x=2處的切線互相平行∴f′(2)=g′(2) 

∴logae=logae  ∴t=6

(Ⅱ)∵t=6∴F(x)=g(x)-f(x)=2loga(2x+4)-logax=loga,x∈[1,4]

令h(x)=4-=4x++16,x∈[1,4]

∵h(yuǎn)′(x)=4-=,x∈[1,4]

∴當(dāng)1≤x＜2時(shí),h′(x)＜0,當(dāng)2＜x≤4時(shí),h′(x)＞0.

∴h(x)在[1,2)是單調(diào)減函數(shù),在(2,4]是單調(diào)增函數(shù).

∴h(x)min=h(2)=32,∴h(x)max=h(1)=h(4)=36

∴當(dāng)0＜a＜1時(shí),有F(x)min=loga36,當(dāng)a＞1時(shí),有F(x)min=loga32.

∵當(dāng)x∈[1,4]時(shí),F(x)≥2恒成立,∴F(x)min≥2 

∴滿足條件的a的值滿足下列不等式組

  ①,或   ②

不等式組①的解集為空集,解不等式組②得1＜a≤

綜上所述,滿足條件的a的取值范圍是：1＜a≤.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實(shí)數(shù)a，b的值：
（2）當(dāng)a＜3時(shí)，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式和切線l的方程；
（2）當(dāng)x∈[
1
e
，e]時(shí)（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，若過兩點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實(shí)數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當(dāng)1＜a＜2時(shí)，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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