已知點(diǎn)A（1，0），定直線(xiàn)l：x=-1，B為l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B作直線(xiàn)m⊥l，連接AB，作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)n，交直線(xiàn)m于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)N（4，0）作直線(xiàn)h與點(diǎn)M的軌跡C相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，求證OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）由已知|MA|=|MB|
∴M的軌跡為以A為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)．
∴M的軌跡方程為y2=4x．
（2）當(dāng)h⊥x時(shí)，h：x=4由
x=4
y2=4x
得y=±4
此時(shí)，P（4，4），Q（4，-4）
KOP=1，KOQ=-1∴OP⊥OQ
當(dāng)h與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l：y=k（x-4）
由
y=k(x-4)
y2=4x
得k2x2-（8k2+4）x+16k2=0
x1?x2=16，y1?y2=-
x11
?
x22
=-16
∴
OA
•
OB
=x1?x2+y1?y2=0
∴OP⊥OQ
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)為B（-2，0），C（2，0），直線(xiàn)AB，AC的斜率乘積為-
1
4
，設(shè)頂點(diǎn)A的軌跡為曲線(xiàn)E．
（1）求曲線(xiàn)E的方程；
（2）設(shè)曲線(xiàn)E與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)D作兩條互相垂直的直線(xiàn)l1，l2，這兩條直線(xiàn)與曲線(xiàn)E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N．設(shè)l1的斜率為k（k≠0），△DMN的面積為S，試求
S
|k|
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線(xiàn)C：y2=4x焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與拋物線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)
（Ⅰ）若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)y=1上，求直線(xiàn)l的方程；
（Ⅱ）若線(xiàn)段|AB|=20，求直線(xiàn)l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖所示，設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在x軸運(yùn)動(dòng)上，其中
PM
•
PF
=0，若動(dòng)點(diǎn)N滿(mǎn)足條件
PN
=
MP

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F（1，0）的直線(xiàn)l和l′分別與曲線(xiàn)E交于A、B兩點(diǎn)和C、D兩點(diǎn)，若l⊥l′，試求四邊形ACBD的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b，b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓Cl的長(zhǎng)軸三等分，且圓C2的面積為π．橢圓Cl的下頂點(diǎn)為E，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線(xiàn)l與圓C2相交于點(diǎn)A、B，直線(xiàn)EA、EB與橢圓C1的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)P、M．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）（i）設(shè)PM的斜率為t，直線(xiàn)l斜率為K1，求
K1
t
的值；
（ii）求△EPM面積最大時(shí)直線(xiàn)l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)P（x0，y0）是拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）上異于頂點(diǎn)的定點(diǎn)，A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)PA與PB的傾斜角互補(bǔ)
（1）求
y1+y2
y0
的值
（2）證明直線(xiàn)AB的斜率是非零常數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大2，
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F且斜率為2
2
的直線(xiàn)交軌跡C于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）兩點(diǎn)，P（x3，y3）（x3≥0）為軌跡C上一點(diǎn)，若
OP
=
OA
+λ
OB
，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0，
（Ⅰ）若過(guò)定點(diǎn)（-2，0）的直線(xiàn)l與圓C相切，求直線(xiàn)l的方程；
（Ⅱ）若過(guò)定點(diǎn)（-1，0）且傾斜角為
π
6
的直線(xiàn)l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)x2-4y2=4交于A、B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（8，1），則直線(xiàn)的方程為_(kāi)_____．

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