如圖,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b,b>0)和圓C2:x2+y2=b2,已知圓C2將橢圓Cl的長軸三等分,且圓C2的面積為π.橢圓Cl的下頂點為E,過坐標原點O且與坐標軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點A、B,直線EA、EB與橢圓C1的另一個交點分別是點P、M.
(Ⅰ)求橢圓C1的方程;
(Ⅱ)(i)設(shè)PM的斜率為t,直線l斜率為K1,求
K1
t
的值;
(ii)求△EPM面積最大時直線l的方程.
(Ⅰ)∵圓C2:x2+y2=b2的面積為π,
∴b2π=π,即b=1.
∴a=3b=3,
橢圓方程為
x2
9
+y2=1
;
(Ⅱ)(i)由題意知直線PE、ME的斜率存在且不為0,PE⊥EM,
不妨設(shè)直線PE的斜率為k(k>0),則PE:y=kx-1,
y=kx-1
x2
9
+y2=1
,得
x=
18k
9k2+1
y=
9k2-1
9k2+1
x=0
y=-1

∴P(
18k
9k2+1
,
9k2-1
9k2+1
),
-
1
k
去代k,得M(
-18k
k2+9
,
9-k2
k2+9
)
,則
t=kPM=
9k2-1
9k2+1
-
9-k2
k2+9
18k
9k2+1
+
18k
k2+9
=
k2-1
10k

y=kx-1
x2+y2=1
,得
x=
2k
1+k2
y=
k2-1
k2+1
x=0
y=-1

A(
2k
1+k2
,
k2-1
k2+1
)

K1=
k2-1
2k
,則
K1
t
=
k2-1
2k
k2-1
10k
=5

(ii)|PE|=
(
18k
9k2+1
)2+(
18k2
9k2+1
)2
=
18k
9k2+1
1+k2
,
|EM|=
18
k
9
k2
+1
1+
1
k2
=
18
9+k2
1+k2

S△EPM=
1
2
18k
9k2+1
1+k2
18
9+k2
1+k2

=
162k(1+k2)
(9+k2)(1+9k2)
=
162(k+k3)
9k4+82k2+9

=
162(
1
k
+k)
9k2+82+
9
k2

設(shè)
1
k
+k=u
,
S△EPM=
162u
82+9(u2-2)
=
162
9u+
64
u
162
2
9u•
64
u
=
27
8

當且僅當
1
k
+k=u=
8
3
時取等號,
此時(k-
1
k
)2=(k+
1
k
)2-4=
28
9
,
k-
1
k
2
7
3

則直線AB:y=
k2-1
2k
x

∴所求的直線l的方程為:y=±
7
3
x
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知直線y=k(x+2)與雙曲線
x2
m
-
y2
8
=1,有如下信息:聯(lián)立方程組:
y=k(x+2)
x2
m
-
y2
8
=1
消去y后得到方程Ax2+Bx+C=0,分類討論:
(1)當A=0時,該方程恒有一解;
(2)當A≠0時,△=B2-4AC≥0恒成立.在滿足所提供信息的前提下,雙曲線離心率的取值范圍是( 。
A.(1,
3
]
B.[
3
,+∞)
C.(1,2]D.[2,+∞)

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知F1,F(xiàn)2分別為橢圓
x2
a2
+
y2
a2-1
=1(a>1)的左、右兩個焦點,一條直線l經(jīng)過點F1與橢圓交于A、B兩點,且△ABF2的周長為8.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若l的傾斜角為
π
4
,求|AB|的值.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于不同的兩點A、B,試確定實數(shù)a的取值范圍,使|AB|≤2p.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

k為何值時,直線y=kx+2和橢圓2x2+3y2=6有兩個交點( 。
A.-
6
3
<k<
6
3
B.k>
6
3
或k<-
6
3
C.-
6
3
≤k≤
6
3
D.k≥
6
3
或k≤-
6
3

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知點A(1,0),定直線l:x=-1,B為l上的一個動點,過B作直線m⊥l,連接AB,作線段AB的垂直平分線n,交直線m于點M.
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)過點N(4,0)作直線h與點M的軌跡C相交于不同的兩點P,Q,求證OP⊥OQ(O為坐標原點).

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
2
2
,A1,A2分別是橢圓C的左、右兩個頂點,點F是橢圓C的右焦點.點D是x軸上位于A2右側(cè)的一點,且滿足
1
|A1D|
+
1
|A2D|
=
2
|FD|
=2

(1)求橢圓C的方程以及點D的坐標;
(2)過點D作x軸的垂線n,再作直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點P,直線l交直線n于點Q.求證:以線段PQ為直徑的圓恒過定點,并求出定點的坐標.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)F1、F2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點.
(Ⅰ)若橢圓上的點A(1,
3
2
)到點F1、F2的距離之和等于4,求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點P是(Ⅰ)中所得橢圓C上的動點,求線段F1P的中點M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知頂點在原點、對稱軸為坐標軸且開口向右的拋物線過點M(4,-4).
(1)求拋物線的方程;
(2)過拋物線焦點F的直線l與拋物線交于不同的兩點A、B,若|AB|=8,求直線l的方程.

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同步練習冊答案