Question

2．已知拋物線y²=2px（p＞0）經(jīng)過點(diǎn)（4，-4）．
（1）求p的值；
（2）若直線l與此拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為N（2，$\frac{1}{3}$）．求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)（4，-4）代入拋物線y²=2px（p＞0）可得p值；
（2）根據(jù)線段AB的中點(diǎn)為N（2，$\frac{1}{3}$）利用點(diǎn)差法，求出直線斜率，可得直線l的方程．

解答 解：（1）∵拋物線y²=2px（p＞0）經(jīng)過點(diǎn)（4，-4）．
∴16=8p，
解得：p=2；
（2）由（1）得：y²=4x，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y}_{1}^{2}=4{x}_{1}\\{y}_{2}^{2}=4{x}_{2}\end{array}\right.$，兩式相減得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴直線l的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{4}{2×\frac{1}{3}}$=6，
故直線l的方程為y-$\frac{1}{3}$=6（x-2），
即18x-3y-35=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，難度中檔．